Tp 4. Ej 4.d

Publicado el abril 30, 2009 por

Analice por definición la existencia de las derivadas parciales de f en el punto A ; cuando sea posible verifique aplicando la regla práctica de derivación.

f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3+ (y-1)^2}{x^2 + (y-1)^2} & si \ (x,y) \neq (0,1) \\ f(x,y) = 0 & si \ (x,y) = \vec{A} = (0,1) \end{cases}

Solución:

Primero analizo f'_x

f'_x(0,1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h, 1) - f(0,1)}{h}

= \lim_{h \to 0} (\frac{h^3 + 0^2}{h^2 + 0^2} - 0) (\frac{1}{h})

= \lim_{h \to 0} \frac{h^3 }{h^3} = 1

Ahora analizo f'_y

f'_y(0,1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0, 1 + h) - f(0,1)}{h}

= \lim_{h \to 0} \frac{x^3+ (y-1)^2}{x^2 + (y-1)^2}

= \lim_{h \to 0} (\frac{0^3 + (1+h-1)^2}{0^2 + (1 + h - 1)^2} - 0) (\frac{1}{h})

= \lim_{h \to 0} (\frac{h^2}{h^2}) (\frac{1}{h})

= \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h^3} = \infty

Por lo tanto no existe f'_y en el punto A

No se puede aplicar la regla práctica en el punto A porque la función está partida en dicho punto.

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2 respuestas a Tp 4. Ej 4.d

  1. Matias dijo:
    septiembre 25, 2009 en 11:10 am

    Te hago una pregunta… no tendria que analizar el caso en que (h,1)=(0,1), o ya al ser limite de h tendiendo a 0 se que nunca se va a cumplir.. osea va a llegar cerca pero nunca se cumple? Gracias!

    Responder
    • damidami dijo:
      septiembre 25, 2009 en 2:19 pm

      Hola Matías,
      Si tal cual, como h \to 0 puedo garantizar que h \neq 0 (entiendo que te referís al cálculo de f'_x)
      Por eso (h,1) \neq (0,1), llega cerca pero nunca se cumple, como vos decís.
      Saludos,
      Damián.

      Responder

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