Tp.10 Ej.1.c

Publicado el diciembre 22, 2009 por

Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:

c) x^2 + y^2 \leq 4, x^2 + y^2 \geq 2x, x \geq 0

Solución:

Analizando la segunda ecuación:
x^2 + y^2 \geq 2x
Completando cuadrados:
x^2 - 2x + y^2 \geq 0
(x-1)^2 + y^2 \geq 1

Para calcular el área mediante Green voy a usar el campo vectorial:
f(x,y) = (\frac{-y}{2}, \frac{x}{2})

Por simetría respecto del eje x, vamos a hacerlo en el 1º cuadrante, y al final multiplicamos por 2 para obtener el área total.

Separamos la curva frontera de la región en 3 curvas regulares, y calculamos la circulación del campo sobre cada una de ellas.

C_1(t) = (\cos(t)+1, \sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi
C'_1(t) = (-\sin(t), \cos(t))
f(C_1(t)) = (\frac{-\sin(t)}{2}, \frac{\cos(t)+1}{2})
f(C_1(t)) \cdot C'_1(t) = \frac{\sin^2(t)}{2} + \frac{\cos^2(t) + \cos(t)}{2}
= \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2}
\int_0^{\pi} \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2} dt
\left[ \frac{1}{2}t + \frac{\sin(t)}{2} \right]_0^{\pi}
= \frac{\pi}{2}
Como la recorrimos en la orientación contraria a la positiva, le cambiamos el signo, por lo tanto la circulación sobre C_1 es \frac{-\pi}{2}

C_2(t) = (2\cos(t), 2\sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi/2
C'_2(t) = (-2\sin(t), 2\cos(t))
f(C_2(t)) = (\frac{-2\sin(t)}{2}, \frac{2\cos(t)}{2})
f(C_2(t)) \cdot C'_2(t) = 2\sin^2(t) + 2\cos^2(t) = 2
2 \int_0^{\pi/2} dt = \pi

C_3(t) = (0, 2-t) con 0 \leq t \leq 2
C'_3(t) = (0,-1)
f(C_3(t)) = (\frac{t-2}{2}, 0)
f(C_3(t)) \cdot C'_3(t) = 0
\int_0^2 0 dt = 0

Por lo tanto el área sobre la región en el 1º cuadrante es:
\frac{-\pi}{2} + \pi + 0 = \frac{\pi}{2}

Para calcular el área total multiplicamos por 2 y es:
Area(D) = \pi

El gráfico de la región es:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(cos(t)+1, sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(0, t, t, -2, 2)
);

Esta entrada fue publicada en TP10 - Teoremas Integrales (Green, Stokes, Gauss). Guarda el enlace permanente.

2 respuestas a Tp.10 Ej.1.c

  1. Pablo dijo:
    febrero 5, 2012 en 11:35 am

    damian, una consulta. Por qué el cambio en el sentido de C1? Lo justificas por el sentido, pero no me quedo bien claro. Me podrias dar una mano!?

    Responder

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Gravatar
Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión /  Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s