Tp.10 Ej.1.c

Publicado el diciembre 22, 2009 por

Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:

c) x^2 + y^2 \leq 4, x^2 + y^2 \geq 2x, x \geq 0

Solución:

Analizando la segunda ecuación:
x^2 + y^2 \geq 2x
Completando cuadrados:
x^2 - 2x + y^2 \geq 0
(x-1)^2 + y^2 \geq 1

Para calcular el área mediante Green voy a usar el campo vectorial:
f(x,y) = (\frac{-y}{2}, \frac{x}{2})

Por simetría respecto del eje x, vamos a hacerlo en el 1º cuadrante, y al final multiplicamos por 2 para obtener el área total.

Separamos la curva frontera de la región en 3 curvas regulares, y calculamos la circulación del campo sobre cada una de ellas.

C_1(t) = (\cos(t)+1, \sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi
C'_1(t) = (-\sin(t), \cos(t))
f(C_1(t)) = (\frac{-\sin(t)}{2}, \frac{\cos(t)+1}{2})
f(C_1(t)) \cdot C'_1(t) = \frac{\sin^2(t)}{2} + \frac{\cos^2(t) + \cos(t)}{2}
= \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2}
\int_0^{\pi} \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2} dt
\left[ \frac{1}{2}t + \frac{\sin(t)}{2} \right]_0^{\pi}
= \frac{\pi}{2}
Como la recorrimos en la orientación contraria a la positiva, le cambiamos el signo, por lo tanto la circulación sobre C_1 es \frac{-\pi}{2}

C_2(t) = (2\cos(t), 2\sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi/2
C'_2(t) = (-2\sin(t), 2\cos(t))
f(C_2(t)) = (\frac{-2\sin(t)}{2}, \frac{2\cos(t)}{2})
f(C_2(t)) \cdot C'_2(t) = 2\sin^2(t) + 2\cos^2(t) = 2
2 \int_0^{\pi/2} dt = \pi

C_3(t) = (0, 2-t) con 0 \leq t \leq 2
C'_3(t) = (0,-1)
f(C_3(t)) = (\frac{t-2}{2}, 0)
f(C_3(t)) \cdot C'_3(t) = 0
\int_0^2 0 dt = 0

Por lo tanto el área sobre la región en el 1º cuadrante es:
\frac{-\pi}{2} + \pi + 0 = \frac{\pi}{2}

Para calcular el área total multiplicamos por 2 y es:
Area(D) = \pi

El gráfico de la región es:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(cos(t)+1, sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(0, t, t, -2, 2)
);

Esta entrada fue publicada en TP10 - Teoremas Integrales (Green, Stokes, Gauss). Guarda el enlace permanente.

2 respuestas a Tp.10 Ej.1.c

  1. Pablo dijo:
    febrero 5, 2012 en 11:35 am

    damian, una consulta. Por qué el cambio en el sentido de C1? Lo justificas por el sentido, pero no me quedo bien claro. Me podrias dar una mano!?

    Responder

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