a) Determine de manera que las familias y sean ortogonales.

b) Sea la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación que pasa por dicho punto. Halle la curva que pasa por .

Solución:

a)
Las familias de curvas son

derivando la primera

multiplicando por y reemplazando

derivando la segunda

dividiendo por 2

por lo tanto las ecuaciones diferenciales asociadas son

cambio por en la segunda

multiplico por

igualando con la primera

b) Sea la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación que pasa por dicho punto. Halle la curva que pasa por .

Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular a la familia:

derivando


la EDO asociada es

cambio por

resuelvo

es de variables separables

como pasa por

por lo tanto, la curva buscada es

que es una elipse centrada en el origen de coordenadas.

Una observación interesante sobre este ejercicio es que el punto en realidad no pertenece a la primera familia de curvas:

pues al reemplazar quedaría


lo cual es absurdo. Pero podemos pensarlo como un caso límite, es decir en la medida que tomamos cada vez mayores, obtenemos curvas que pasan cada vez “mas cerca” de , y el caso límite correspondería a la semirecta que corresponde al eje con . En ese caso la elipse y esta recta se cortan perpendicularmente, como era de esperar.

En el siguiente gráfico podemos ver la curva pedida en azul, algunas curvas de la familia original en verde, y las rectas tangente y normal a la curva pedia en el punto

draw2d(
color=blue,
parametric(sqrt(2)*cos(t), 1*sin(t), t,0,2*%pi),
color=orange,
parametric(t,1*t^2, t,-1,1),
parametric(t,2*t^2, t,-0.75,0.75),
parametric(t,4*t^2, t,-0.5,0.5),
color=black,
parametric(0,t, t,0,1.25),
color=black,
parametric(t,1, t,-1.25,1.25)
);