a) Determine de manera que las familias
y
sean ortogonales.
b) Sea la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación
que pasa por dicho punto. Halle la curva
que pasa por
.
Solución:
a)
Las familias de curvas son
derivando la primera
multiplicando por y reemplazando
derivando la segunda
dividiendo por 2
por lo tanto las ecuaciones diferenciales asociadas son
cambio por
en la segunda
multiplico por
igualando con la primera
b) Sea la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación
que pasa por dicho punto. Halle la curva
que pasa por
.
Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular a la familia:
derivando
la EDO asociada es
cambio por
resuelvo
es de variables separables
como pasa por
por lo tanto, la curva buscada es
que es una elipse centrada en el origen de coordenadas.
Una observación interesante sobre este ejercicio es que el punto en realidad no pertenece a la primera familia de curvas:
pues al reemplazar quedaría
lo cual es absurdo. Pero podemos pensarlo como un caso límite, es decir en la medida que tomamos cada vez mayores, obtenemos curvas que pasan cada vez “mas cerca” de
, y el caso límite correspondería a la semirecta que corresponde al eje
con
. En ese caso la elipse y esta recta se cortan perpendicularmente, como era de esperar.
En el siguiente gráfico podemos ver la curva pedida en azul, algunas curvas de la familia original en verde, y las rectas tangente y normal a la curva pedia en el punto
draw2d(
color=blue,
parametric(sqrt(2)*cos(t), 1*sin(t), t,0,2*%pi),
color=orange,
parametric(t,1*t^2, t,-1,1),
parametric(t,2*t^2, t,-0.75,0.75),
parametric(t,4*t^2, t,-0.5,0.5),
color=black,
parametric(0,t, t,0,1.25),
color=black,
parametric(t,1, t,-1.25,1.25)
);
Hola, no entiendo del punto b) este paso, “Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular “. Por que buscamos la flia perpendicular y no directamente la que da derivando la parabola? Porque la normal de la curva original es ortogonal a la tangente de la parabola.
Hola Jesica,
La clave está en que te habla de la recta normal, no de la recta tangente. Por eso no es diréctamente la que da derivando la parábola.
La normal de la “curva original” (la que estamos buscando) es tangente a la parábola (lo dice el enunciado). Cuidado que la normal no es ortogonal a la tangente de la parábola como decís en la última oración.
(Es como un trabalenguas, pero pensalo un rato y vas a ver que tiene sentido)
Saludos,
Damián.