2º Parcial Curso de Verano 2013

T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo $f$ con matriz jacobiana $Df$ según se indica, calcule el flujo de $f$ a través de una superficie esférica de radio $R=3$ con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.

$Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}$

T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ . Dado el campo vectorial $f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) )$ tal que $f(0,1) = (0,2)$ , halle $g(x)$ sabiendo que $f$ admite función potencial.

E1) Sea $C$ la curva integral de $y'' + y = 0$ que pasa por el origen con pendiente igual a $\pi/2$ . Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por $C$ y la recta de ecuación $y=x$ con $x \leq \pi/2$ .

E2) La curva $C$ queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: $z = x + y^2$ , $x = y^2$ ; calcule la circulación de $f$ desde $(1,1,2)$ hasta $(4,2,8)$ , sabiendo que $f(x,y,z) = (xy, y^3, yz)$ .

E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: $x^2 + z^2 \leq 4$ , $-x \leq y \leq x$ , $z \geq 0$ .

E4) Dado $f(x,y,z) = (xy, xz, 2yz)$ , calcule el flujo de $f$ a través de la superficie $\Sigma$ abierta de ecuación $z = 4-x^2$ con $z \geq x^2 + 2y^2$ en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a $\Sigma$ .

Solución: (de la parte práctica)

$Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}$

$div(f) = 2x + y-1 + 4-2x = y+3$

$\iint_S f ds = \iiint_V y+3 dxdydz = \iiint_V y dxdydz + 3 \cdot Vol(V)$
Pero
$\underbrace{\int_0^{2\pi} \sin(\alpha) d\alpha}_{=0} \int_0^\pi \sin^2(\beta) d\beta \int_0^{3} \rho^3 d\rho = 0$
Luego el flujo equivale al triple del volúmen de la esfera, es decir
$\iint_S f ds = 3 \frac{4}{3} \pi 3^3 = 108 \pi$
(orientado en forma saliente)

$f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) ) = (P,Q)$

Como admite función potencial sabemos que
$Q'_x - P'_y = 0$
es decir
$g'' + g = 0$

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden. La ecuación característica es
$\alpha^2 + 1 = 0$ (raíces complejas conjugadas i y -i)
por lo tanto la SG es
$g(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
$g'(x) = - C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)$

Como
$f(0,1) = (0,2)$
tenemos que
$4 - g(0) = 0$
$g'(0) = 2$

Luego
$4 = C_1$
$2 = C_2$

Finalmente
$g(x) = 4 \cos(x) + 2 \sin(x)$

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden
$y'' + y = 0$
cuyo polinomio característico es
$\alpha^2 + 1 = 0$ (raíces complejas conjugadas $i$ y $-i$ )
$y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
$y' = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)$

como pasa por el origen
$0 = C_1$
Como tiene pendiente igual a $\pi/2$
$\pi/2 = C_2$

luego
$y = \pi/2 \sin(x)$

El área pedida es
$\int_0^{\pi/2} dx \int_x^{\pi/2 \sin(x)} dy = \int_0^{\pi/2} \pi/2 \sin(x) - x dx$
$= \left[ - \frac{\pi}{2} \cos(x) - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/2}$
$= (0 - \frac{\pi^2}{8} ) - (- \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{\pi}{4} \right) \approx 0.337096...$

Parametrizo $C$ con
$g(t) = (t^2, t, 2t^2)$ con $1 \leq t \leq 2$
Luego la circulación pedida es
$\int_1^2 (t^3, t^3, 2t^3) \cdot (2t, 1, 4t) dt$
$= \int_1^2 2t^4 + t^3 + 8t^4 dt = \frac{263}{4}$

E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: $x^2 + z^2 \leq 4$ , $-x \leq y \leq x$ , $z \geq 0$ .

Uso cilíndricas sobre el eje $y$ . Se tiene $x,z \geq 0$ .

$V = \int_0^{\pi/2} d\phi \int_{0}^2 \rho d\rho \int_{-\rho \cos(\phi)}^{\rho \cos(\phi)} dy$

$= 2 \int_0^{\pi/2} \cos(\phi) d\phi \int_{0}^2 \rho^2 d\rho$

$= 2 \cdot \frac{8}{3} \left[ \sin(\phi) \right]_0^{\pi/2}$

$= \frac{16}{3}$

Luego el volúmen pedido es $\frac{16}{3}$

La superficie es de ecuación $z = h(x,y)$ con $h(x,y) = 4 - x^2$
Luego el vector normal es
$N = (-h'_x, -h'_y, 1) = (2x, 0, 1)$ (orienté hacia los $z^+$ )

Intersecto las superficies
$z = 4-x^2$
$z = x^2 + 2y^2$

me queda
$4-x^2 = x^2 + 2y^2$
$x^2 + y^2 = 2$

Se ve que la proyección de la superficie sobre el plano $xy$ es

$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 2, x,y \geq 0\}$

Luego el flujo pedido es
$\iint_\Sigma f ds = \iint_A (xy, x(4-x^2), 2y(4-x^2)) \cdot (2x, 0, 1) dxdy$
$= \iint_A 2 x^2 y + 8y - 2yx^2 dxdy$
$= 8 \iint_A y dxdy$
en polares
$= 8 \int_0^{\pi/2} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\sqrt{2}} \rho^2 d\rho = \frac{16}{3} \sqrt{2}$

5 respuestas a 2º Parcial Curso de Verano 2013

NBN dijo:

julio 25, 2013 en 10:37 am

Porque en el E3 consideras que la X tmb debe ser mayor que cero? la restriccion esta unicamente sobre Z. En tal caso, el volumen pedido no deberia ser el doble de 16/3?

Responder
- dami dijo:
  
  julio 25, 2013 en 2:32 pm
  
  Hola NBN,
  
  Fijate que si hay una restricción indirecta en x:
  
  $-x \leq x$
  $0 \leq 2x$
  $0 \leq x$
  Es decir
  $x \geq 0$
  
  Saludos,
  Damián.
  
  Responder
mauro corigliano dijo:

abril 15, 2016 en 2:05 pm

Hola Damian!! Consulta : En el E3,porque tomas ( Ѳ ) desde 0 a π/2 ?
No logro comprender como se obtiene tita y ro.Ro viene dado por el radio de la circunferencia verdad? y en el caso del angulo tita?Hay alguna forma de obtenerlo o verlo claramente?
Muchas gracias!!

Responder
- dami dijo:
  
  abril 15, 2016 en 8:09 pm
  
  Hola Mauro,
  Como $z \geq 0$ y $x \geq 0$ queda la cuarta parte del cilindro, por eso el ángulo va de $0$ a $\pi/2$ , y el $\rho = 2$ sale del radio del cilindro.
  También sale directo usando cartesianas: $\int_0^2 dx \int_{-x}^x dy \int_0^{\sqrt{4-x^2}} dz = \frac{16}{3}$ (ver wolfram)
  Saludos,
  Damián.
  
  Responder
  - mauro corigliano dijo:
    
    abril 16, 2016 en 1:05 pm
    
    Es decir,para determinar el angulo nos tenemos que guiar por los octantes en donde nos estamos manejando,verdad?

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