T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo con matriz jacobiana
según se indica, calcule el flujo de
a través de una superficie esférica de radio
con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.
T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden . Dado el campo vectorial
tal que
, halle
sabiendo que
admite función potencial.
E1) Sea la curva integral de
que pasa por el origen con pendiente igual a
. Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por
y la recta de ecuación
con
.
E2) La curva queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones:
,
; calcule la circulación de
desde
hasta
, sabiendo que
.
E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: ,
,
.
E4) Dado , calcule el flujo de
a través de la superficie
abierta de ecuación
con
en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a
.
Solución: (de la parte práctica)
T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo con matriz jacobiana
según se indica, calcule el flujo de
a través de una superficie esférica de radio
con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.
Pero
Luego el flujo equivale al triple del volúmen de la esfera, es decir
(orientado en forma saliente)
T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden . Dado el campo vectorial
tal que
, halle
sabiendo que
admite función potencial.
Como admite función potencial sabemos que
es decir
Resolvemos la EDO lineal de 2º orden. La ecuación característica es
(raíces complejas conjugadas i y -i)
por lo tanto la SG es
Como
tenemos que
Luego
Finalmente
E1) Sea la curva integral de
que pasa por el origen con pendiente igual a
. Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por
y la recta de ecuación
con
.
Resolvemos la EDO lineal de 2º orden
cuyo polinomio característico es
(raíces complejas conjugadas
y
)
como pasa por el origen
Como tiene pendiente igual a
luego
El área pedida es
E2) La curva queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones:
,
; calcule la circulación de
desde
hasta
, sabiendo que
.
Parametrizo con
con
Luego la circulación pedida es
E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: ,
,
.
Uso cilíndricas sobre el eje . Se tiene
.
Luego el volúmen pedido es
E4) Dado , calcule el flujo de
a través de la superficie
abierta de ecuación
con
en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a
.
La superficie es de ecuación con
Luego el vector normal es
(orienté hacia los
)
Intersecto las superficies
me queda
Se ve que la proyección de la superficie sobre el plano es
Luego el flujo pedido es
en polares
Porque en el E3 consideras que la X tmb debe ser mayor que cero? la restriccion esta unicamente sobre Z. En tal caso, el volumen pedido no deberia ser el doble de 16/3?
Hola NBN,
Fijate que si hay una restricción indirecta en x:
Es decir
Saludos,
Damián.
Hola Damian!! Consulta : En el E3,porque tomas ( Ѳ ) desde 0 a π/2 ?
No logro comprender como se obtiene tita y ro.Ro viene dado por el radio de la circunferencia verdad? y en el caso del angulo tita?Hay alguna forma de obtenerlo o verlo claramente?
Muchas gracias!!
Hola Mauro,
y
queda la cuarta parte del cilindro, por eso el ángulo va de
a
, y el
sale del radio del cilindro.
(ver wolfram)
Como
También sale directo usando cartesianas:
Saludos,
Damián.
Es decir,para determinar el angulo nos tenemos que guiar por los octantes en donde nos estamos manejando,verdad?