2º Parcial Curso de Verano 2013

T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado el campo $f$ con matriz jacobiana $Df$ según se indica, calcule el flujo de $f$ a través de una superficie esférica de radio $R=3$ con centro en el origen; indique gráficamente como ha orientado la superficie.

$Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}$

T2) Defina solución general y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ . Dado el campo vectorial $f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) )$ tal que $f(0,1) = (0,2)$ , halle $g(x)$ sabiendo que $f$ admite función potencial.

E1) Sea $C$ la curva integral de $y'' + y = 0$ que pasa por el origen con pendiente igual a $\pi/2$ . Calcule el área de la región plana del 1º cuadrante limitada por $C$ y la recta de ecuación $y=x$ con $x \leq \pi/2$ .

E2) La curva $C$ queda definida por la intersección de las superficies de ecuaciones: $z = x + y^2$ , $x = y^2$ ; calcule la circulación de $f$ desde $(1,1,2)$ hasta $(4,2,8)$ , sabiendo que $f(x,y,z) = (xy, y^3, yz)$ .

E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: $x^2 + z^2 \leq 4$ , $-x \leq y \leq x$ , $z \geq 0$ .

E4) Dado $f(x,y,z) = (xy, xz, 2yz)$ , calcule el flujo de $f$ a través de la superficie $\Sigma$ abierta de ecuación $z = 4-x^2$ con $z \geq x^2 + 2y^2$ en el 1º octante. Indique gráficamente cómo ha decidido orientar a $\Sigma$ .

Solución: (de la parte práctica)

$Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2x & z & y \\ z & y-1 & x \\ -2z & 2y & 4-2x \end{pmatrix}$

$div(f) = 2x + y-1 + 4-2x = y+3$

$\iint_S f ds = \iiint_V y+3 dxdydz = \iiint_V y dxdydz + 3 \cdot Vol(V)$
Pero
$\underbrace{\int_0^{2\pi} \sin(\alpha) d\alpha}_{=0} \int_0^\pi \sin^2(\beta) d\beta \int_0^{3} \rho^3 d\rho = 0$
Luego el flujo equivale al triple del volúmen de la esfera, es decir
$\iint_S f ds = 3 \frac{4}{3} \pi 3^3 = 108 \pi$
(orientado en forma saliente)

$f(x,y) = (4 - y g(x), g'(x) ) = (P,Q)$

Como admite función potencial sabemos que
$Q'_x - P'_y = 0$
es decir
$g'' + g = 0$

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden. La ecuación característica es
$\alpha^2 + 1 = 0$ (raíces complejas conjugadas i y -i)
por lo tanto la SG es
$g(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
$g'(x) = - C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)$

Como
$f(0,1) = (0,2)$
tenemos que
$4 - g(0) = 0$
$g'(0) = 2$

Luego
$4 = C_1$
$2 = C_2$

Finalmente
$g(x) = 4 \cos(x) + 2 \sin(x)$

Resolvemos la EDO lineal de 2º orden
$y'' + y = 0$
cuyo polinomio característico es
$\alpha^2 + 1 = 0$ (raíces complejas conjugadas $i$ y $-i$ )
$y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$
$y' = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)$

como pasa por el origen
$0 = C_1$
Como tiene pendiente igual a $\pi/2$
$\pi/2 = C_2$

luego
$y = \pi/2 \sin(x)$

El área pedida es
$\int_0^{\pi/2} dx \int_x^{\pi/2 \sin(x)} dy = \int_0^{\pi/2} \pi/2 \sin(x) - x dx$
$= \left[ - \frac{\pi}{2} \cos(x) - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/2}$
$= (0 - \frac{\pi^2}{8} ) - (- \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{\pi}{4} \right) \approx 0.337096...$

Parametrizo $C$ con
$g(t) = (t^2, t, 2t^2)$ con $1 \leq t \leq 2$
Luego la circulación pedida es
$\int_1^2 (t^3, t^3, 2t^3) \cdot (2t, 1, 4t) dt$
$= \int_1^2 2t^4 + t^3 + 8t^4 dt = \frac{263}{4}$

E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: $x^2 + z^2 \leq 4$ , $-x \leq y \leq x$ , $z \geq 0$ .

Uso cilíndricas sobre el eje $y$ . Se tiene $x,z \geq 0$ .

$V = \int_0^{\pi/2} d\phi \int_{0}^2 \rho d\rho \int_{-\rho \cos(\phi)}^{\rho \cos(\phi)} dy$

$= 2 \int_0^{\pi/2} \cos(\phi) d\phi \int_{0}^2 \rho^2 d\rho$

$= 2 \cdot \frac{8}{3} \left[ \sin(\phi) \right]_0^{\pi/2}$

$= \frac{16}{3}$

Luego el volúmen pedido es $\frac{16}{3}$

La superficie es de ecuación $z = h(x,y)$ con $h(x,y) = 4 - x^2$
Luego el vector normal es
$N = (-h'_x, -h'_y, 1) = (2x, 0, 1)$ (orienté hacia los $z^+$ )

Intersecto las superficies
$z = 4-x^2$
$z = x^2 + 2y^2$

me queda
$4-x^2 = x^2 + 2y^2$
$x^2 + y^2 = 2$

Se ve que la proyección de la superficie sobre el plano $xy$ es

$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 2, x,y \geq 0\}$

Luego el flujo pedido es
$\iint_\Sigma f ds = \iint_A (xy, x(4-x^2), 2y(4-x^2)) \cdot (2x, 0, 1) dxdy$
$= \iint_A 2 x^2 y + 8y - 2yx^2 dxdy$
$= 8 \iint_A y dxdy$
en polares
$= 8 \int_0^{\pi/2} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\sqrt{2}} \rho^2 d\rho = \frac{16}{3} \sqrt{2}$

5 respuestas a 2º Parcial Curso de Verano 2013

NBN dijo:

julio 25, 2013 en 10:37 am

Porque en el E3 consideras que la X tmb debe ser mayor que cero? la restriccion esta unicamente sobre Z. En tal caso, el volumen pedido no deberia ser el doble de 16/3?

Responder
- dami dijo:
  
  julio 25, 2013 en 2:32 pm
  
  Hola NBN,
  
  Fijate que si hay una restricción indirecta en x:
  
  $-x \leq x$
  $0 \leq 2x$
  $0 \leq x$
  Es decir
  $x \geq 0$
  
  Saludos,
  Damián.
  
  Responder
mauro corigliano dijo:

abril 15, 2016 en 2:05 pm

Hola Damian!! Consulta : En el E3,porque tomas ( Ѳ ) desde 0 a π/2 ?
No logro comprender como se obtiene tita y ro.Ro viene dado por el radio de la circunferencia verdad? y en el caso del angulo tita?Hay alguna forma de obtenerlo o verlo claramente?
Muchas gracias!!

Responder
- dami dijo:
  
  abril 15, 2016 en 8:09 pm
  
  Hola Mauro,
  Como $z \geq 0$ y $x \geq 0$ queda la cuarta parte del cilindro, por eso el ángulo va de $0$ a $\pi/2$ , y el $\rho = 2$ sale del radio del cilindro.
  También sale directo usando cartesianas: $\int_0^2 dx \int_{-x}^x dy \int_0^{\sqrt{4-x^2}} dz = \frac{16}{3}$ (ver wolfram)
  Saludos,
  Damián.
  
  Responder
  - mauro corigliano dijo:
    
    abril 16, 2016 en 1:05 pm
    
    Es decir,para determinar el angulo nos tenemos que guiar por los octantes en donde nos estamos manejando,verdad?

Responder Cancelar respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Correo electrónico (La dirección no se hará pública)

Nombre

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Google. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s

	Juani Rigada en 2º Parcial Curso de Verano…
	Santiago Orlando en Final 19/12/2017
	damidami en Final 12/12/2017
	Rochas (@agustinroch… en Final 12/12/2017
	Emy Goicoechea en Final 12/12/2017
	damidami en Final 20/07/2010
	Rochas (@agustinroch… en Final 20/07/2010
	Rochas (@agustinroch… en Final 19/07/2011
	damidami en Final 19/07/2011
	Rochas (@agustinroch… en Final 19/07/2011
	damidami en Final 21/12/2009
	Guido Paolini en Final 21/12/2009
	damidami en Tp 3 Ej 3.c
	Guido Paolini en Tp 3 Ej 3.c
	Matias Isturiz en Final 24/05/2017