E1)
a) El conjunto de nivel 0 es donde unión donde
, es decir
El conjunto de nivel 1 es donde unión donde
Es decir son los puntos de la parábola que vemos en verde, quitando los puntos y
que eran del conjunto de nivel 0.
b)
Que tiende a infinito, es decir que
E2)
derivando
multiplico por
reemplazo de la primera que
cambio por
en el
de donde
por lo tanto la curva pedida es de ecuación
E3) Defino , entonces
.
Un diagramita de la compuesta:
pues y además por enunciado el punto de la implícita es
Defino
En el
Entonces por el teorema de la implícita
Por otro lado
Luego por la regla de la cadena
Luego las direcciones de derivada nula son las perpendiculares al gradiente es decir
E4)
a)
Averiguo tal que devuelva
De donde
El plano tangente es de ecuación
b) Primero despejo de la ecuación del plano
Como se trata del plano tangente a la gráfica de en
, vemos que
y que
Luego
T1)
Es diferenciable, busco sus puntos críticos que son estacionarios
De donde los puntos críticos son y
Vamos a aplicar el criterio del Hessiano para clasificarlos
Ambos tienen determinante negativo. Por el criterio producen punto silla. Los mismos son y
T2) En un entorno del la función
coincide con
que es diferenciable por ser
ya que se trata de un cociente de polinomios y no se anula el denominador en dicho entorno.
Acá podemos ver las derivadas parciales que son contínuas en un entorno del por ser cocientes de polinomios y no se anula el denominador en dicho entorno
En el E1 b) faltaría analizar la continuidad de la función en (0,1).
No es continua pues el límite no existe ya que para (x,y) tendiendo a (0,1) con |y| distinto de 1 el numerador tiende a -2 y el denominador a 0 por lo que el cociente diverge.
En el E3 a) faltaría mencionar que las derivadas de F son continuas, por lo que F resulta C1 y, por lo tanto, diferenciable.
Hola, en el punto 1a no entendí eso de excluir los puntos A y B, podrías aclarar por qué hay que hacer eso? Gracias
Hola Julian,
y
cumplen que
, y por definición la función ahí vale cero, por eso hay que excluirlos del conjunto de nivel 1 (separando a la parábola en 3 arcos de parábola)
Los puntos
Saludos,
Damián
Gracias Damian! Ahí entendí mejor