2º Parcial Curso de Verano 2018

SEGUNDO PARCIAL ANÁLISIS MATEMÁTICO II VERANO febrero 2018

Solución: (de la práctica)

T1)
a) Falso. \nabla \times f = rot(f) = 0 es sólo una condición necesaria para que el campo sea conservativo. Si el conjunto U fuera símplemente conexo sería suficiente, pero por ejemplo si

U = \mathbb{R}^3 - \textrm{eje z}, f : U \to \mathbb{R}^3,
f(x,y,z) = \left( \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right)

Se tiene que \nabla \times f = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{-y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} & 0  \end{array} \right| =

= \left( 0, 0, \frac{x^2 + y^2 - 2x^2}{ (x^2 + y^2)^2} - \frac{-x^2 - y^2 + 2y^2}{ (x^2 + y^2)^2} \right) = (0,0,0)

Y si hacemos la circulación de f sobre la circunferencia g(t) = (\cos(t), \sin(t), 0), 0 \leq t \leq 2\pi nos da

\int_0^{2 \pi} ( -\sin(t), \cos(t), 0 ) \cdot ( -\sin(t), \cos(t), 0  ) dt = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi \neq 0

Es decir la circulación sobre una curva cerrada no dió cero y por lo tanto f no puede ser conservativo.


b) Verdadero.

g(x,y) = (2y + y \cos(xy), 3x + x \cos(xy))

green(f) = 3 + \cos(xy) - xy \sin(xy) - [ 2 + \cos(xy) - xy \sin(xy) ] = 1

Luego, por el teorema de Green, si C es la elipse y D la región que encierra entonces

\int_C f dc = \iint_D Q'_x - P'_y dxdy = \iint_D dxdy = area(D)


T2)

b) f(x,y,z) = (2x + e^{yz}, y + 3x^2, -z)
div(f) = 2 + 1 - 1 = 2

O sea que por el teorema de la divergencia

\iint_{\partial \Omega} f ds = \iiint_{\Omega} 2 dxdydz = 2 \ vol(\Omega)

Por otro lado, \iint_{\partial \Omega} f ds = 4\pi, pues con la normal entrante sería -4\pi

Nos queda
2 \ vol(\Omega) = 4\pi

y por lo tanto
\boxed{vol(\Omega) = 2\pi}


P1)

a) En el siguiente gráfico podemos ver el eje x en rojo, eje y en verde, eje z en azul, y la curva en color negro.

b)
f(x,y,z) = (2x + z, \cos(y), x)
\sigma(t) = (2 \cos(t), 2 \sin(t), 5t), 0 \leq t \leq 2\pi

Veamos si f es conservativo. Su matriz jacobiana es

Df = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & -\sin(y) & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Que es contínua y simétrica. Como además su dominio es \mathbb{R}^3 que es símplemente conexo, cumple la condición suficiente.

Busquemos su función potencial.

\phi'_x = 2x + z
\phi'_y = \cos(y)
\phi'_z = x

\phi = x^2 + zx + C(y,z)
\phi = \sin(y) + C(x,z)
\phi = xz + C(x,y)

\boxed{ \phi(x,y,z) = x^2 + xz + \sin(y) + C }

Los puntos inicial y final de la curva son
A = \sigma(0) = (2, 0, 0)
B = \sigma(2\pi) = (2,0,10\pi)

Luego la circulación pedida es

\int_C f \ dc = \phi(B) - \phi(A) = 4 + 20\pi + 0 + C -(4 + 0 + 0 + C) = \boxed{20\pi}

Este mismo ejercicio se podía hacer directamente sin usar ningún teorema, pero con la desventaja de tener que hacer una integral mucho mas fea, por ejemplo así:

\int_C f \ dc = \int_0^{2 \pi} (4 \cos(t) + 5t, \cos(2 \sin(t)), 2 \cos(t)) \cdot (-2\sin(t), 2 \cos(t), 5) dt

= \int_0^{2 \pi} -8 \sin(t) \cos(t) - 10 t \sin(t) + 2 \cos(t) \cos(2 \sin(t)) + 10 \cos(t) dt

= 20\pi según wolframalpha.


P2) Sea S el paraboloide z = x^2 + y^2 - 2x + 1, z \leq 4

a) area(S)

dada la superficie
z = x^2 + y^2 - 2x + 1

completando cuadrados
z = (x-1)^2 + y^2

la intersecto con el plano z=4 y la proyección sobre el plano xy nos queda
(x-1)^2 + y^2 = 4

Entonces la parametrizo como
g(u,v) = (u \cos(v) + 1, u \sin(v), u^2)
con 0 \leq u \leq 2, 0 \leq v \leq 2 \pi.

Tenemos que
g'_u(u,v) = (\cos(v)     , \sin(v)  , 2u)
g'_v(u,v) = ( - u \sin(v), u \cos(v), 0 )

(g'_u \times g'_v)(u,v) = ( - 2u^2 \cos(v), -2u^2 \sin(v), u)

||(g'_u \times g'_v)||(u,v) = \sqrt{ 4u^4 + u^2 } = u \sqrt{ 4u^2 + 1}

Luego

area(S) = \iint_S ds = \iint_{S_{uv}} u \sqrt{ 4u^2 + 1} dudv
= \int_0^{2\pi} dv \int_0^2 u \sqrt{ 4u^2 + 1} du

= \boxed{ \frac{ (17 \sqrt{17} - 1) \pi}{6} }


b) f(x,y,z) = (x+3, y, \sin(xz))

rot(f) = \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x+3 & y & \sin(xz) \end{array} \right|

= ( 0 - 0, 0 - z \cos(xz), 0 - 0 ) = \boxed{(0, -z \cos(xz), 0)}

Por el teorema del rotor, si C es la circunferencia (x-1)^2 + y^2 = 4, z=4, y si D es el disco circular (x-1)^2 + y^2 \leq 4, z=4, con S y D orientados hacia abajo, entonces

\int_C f \ dc = \iint_S rot(f) \ ds = \iint_D rot(f) \ ds

tomando como versor normal n=(0,0,-1) a D, vemos que

\iint_D rot(f) \ ds = \iint_{D_{xy}} 0 dxdy = 0

Luego la integral pedida vale cero: \iint_S rot(f) \ ds = \boxed{0}


P3) f(x,y,z) = (x+2yz, 2y + xz^3, \cos(2y^2))

Nos dan la superficie S
x = y^2 + z^2 - 2, x \leq 2

Llamamos T a la superficie tapa
x = 2, y^2 + z^2 \leq 4

Calculamos la divergencia de f
div(f) = 1 + 2 + 0 = 3

Integro la divergencia sobre el sólido interior a la superficie S \cup T

\iiint_V 3 dv = 3 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho \int_{\rho^2 - 2}^2 dx = \boxed{24\pi}

Ahora calculo el flujo sobre la tapa T orientada hacia x>0

\iint_T f \ ds = \int_{T_{yz}} 2+2yz dydz = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (2+2\rho^2 \sin(\phi) \cos(\phi)) \rho d\rho

= \int_0^{2\pi} \int_0^2 2\rho d\rho + \int_0^{2\pi} \int_0^2 2\rho^3 \sin(\phi) \cos(\phi) d\rho

= 8 \pi + 0 = \boxed{8\pi}

Luego, por el teorema de la divergencia

\iint_S f \ ds = \iiint_V 3 dv - \iint_T f \ ds

24\pi - 8\pi = \boxed{16 \pi}

donde la orientación es hacia x<0.

En el siguiente gráfico se ve el eje x orientado de forma creciente (en color rojo), y podemos ver que el vector normal a la superficie (en color negro) apunta en la dirección contraria.


P4) y'' - 2y' + y = x^{3/2} e^x

y(0) = 0, y'(0) = 1

La ecuación característica nos queda

\alpha^2 - 2 \alpha + 1 = 0

que tiene raíz doble \alpha = 1

Luego la SG de la homogenea asociada es

\boxed{ y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x }

Para encontrar la y_p usamos el método de variación de parámetros.

Hay que resolver el sistema

c_1' e^x + c_2' x e^x = 0
c_1' e^x + c_2' (e^x + x e^x) = x^{3/2} e^x

lo hacemos por regla de Cramer

c_1' = \frac{ \left| \begin{array}{cc} 0 & x e^x \\ x^{3/2} e^x & e^x + x e^x \end{array}\right| }{ \left| \begin{array}{cc} e^x & x e^x \\ e^x & e^x + x e^x \end{array}\right| }

c_2' = \frac{ \left| \begin{array}{cc} e^x & 0 \\ e^x & x^{3/2} e^x \end{array}\right| }{ \left| \begin{array}{cc} e^x & x e^x \\ e^x & e^x + x e^x \end{array}\right| }

c_1' = \frac{ - x^{5/2} e^{2x} }{ e^{2x} }
c_2' = \frac{ x^{3/2} e^{2x} }{ e^{2x} }

c_1' = - x^{5/2}
c_2' = x^{3/2}

Podemos tomar
c_1 = -\frac{2}{7} x^{7/2}
c_2 = \frac{2}{5} x^{5/2}

luego una SP posible es
y_p = - \frac{2}{7} x^{7/2} e^x + \frac{2}{5} x^{5/2} x e^x
y_p = - \frac{2}{7} x^{7/2} e^x + \frac{2}{5} x^{7/2} e^x
y_p = \frac{4}{35} x^{7/2} e^x

luego la SG buscada es

\boxed{ y = C_1 e^x + C_2 x e^x + \frac{4}{35} x^{7/2} e^x }

derivando
y' = C_1 e^x + C_2 (e^x + x e^x) + \frac{4}{35} (\frac{7}{2} x^{5/2} e^x + x^{7/2} e^x)

luego
y(0) = C_1 = 0
y'(0) = C_1 + C_2 = 1

es decir C_1 = 0, C_2 = 1

Finalmente la SP buscada es
\boxed{ y = x e^x + \frac{4}{35} x^{7/2} e^x }

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