Solución (de la parte práctica, y de forma muy concisa)
T1) En polares
Notar que varía entre
y
. En polares
. Multiplicando por
vemos que
, es decir
,
que es una circunferencia. Como
varía entre
y
es en el primer cuadrante. El dibujito entonces nos queda así
En cartesianas
T2)
no es SG pues tiene una sola constante arbitraria y la EDO es de segundo orden.
Veamos si es solución
reemplazo
por lo tanto es solución.
E1)
igualando (1) con (2)
aplico rotor sobre el disco circular en el plano $y=2$, tomando normal $n = (0,1,0)$
En el siguiente dibujo vemos la curva en color negro, la superficie en color azul, y la proyección sobre el plano en violeta
E2) Como es contínua y
es compacto, por el teorema de Weierstrass produce un mínimo y un máximo absoluto.
En mi opinión con eso sólo ya está terminado el ejercicio ya que no pide calcularlos. De todas formas vamos a calcularlos.
Los puntos críticos cumplen , es decir se tiene un único punto crítico
. Como
hay que considerarlo.
. Por el criterio del Hessiano es un mínimo relativo. De hecho está claro que
, por lo tanto es mínimo absoluto.
Como no hay otro punto crítico en el interior, el máximo absoluto debe producirse en la frontera. Parametrizamos la frontera de con
con
.
Sea
Busco sus puntos críticos
, es decir los puntos críticos son
y
.
Directamente evaluando vemos que y que
. Luego vemos que
es máximo absoluto.
En el siguiente dibujo vemos la región en celeste, los conjuntos de nivel de
en verde, y los puntos donde se producen el mínimo y máximo absoluto en rojo.
E3) Lo hago por flujo directo (sin usar divergencia y tapa)
La superficie es de ecuación
(1)
(2)
Defino
(pues sobre la superficie
)
Luego sobre la supercicie.
Luego el flujo pedido es
En el siguiente dibujo vemos el casquete esférico en color verde, y la proyección en el plano en violeta
P4)
por transitividad
Recordando que tenemos que el volumen pedido es
En el siguiente dibujo vemos el sólido donde el techo está en color violeta, el piso en color azul, y la proyección sobre el plano en color rojo.
Hola, en E4, los limites del angulo no deberia ser de -pi/2 a pi/2?
Hola Maruu,
Tenés razón, ahí lo arreglé.
Gracias,
Damián.
Como se calcula el limite de los angulos sin que sea graficamente?
consulta Damian, con qué lo graficaste al punto 4?
Hola Jonathan,
Grafiqué todos con Geogebra.
Hola Damian, como estas?
Te dejo una consulta. En el funto 3)
cuando haces f \cdot \frac{\nabla G}{|G’_z|} = x^2 + y^2 + z^2 = 4 sobre la supercicie.
no es z^2 (termino de z en la f(xyz) por 2/Z
Quedandote como resultado final a integrar 2z?
Perdon damian, me exprese de manera pesima.
Pero podrias desarrollarme las cuentas cuando haces f. el gradiente de G sobre la norma del gradiente?
No entiendo com te da x^2+y^2+Z^2.
gracias,
slds.