2° Recuperatorio 2° Parcial Verano 2018

enun.b

Solución:

P1) Nos dan el campo vectorial
f(x,y,z) = (5yz + 2x + y, x + z^2 + 2y, x^3 + 2y)
cuya divergencia es
div(f) = 2 + 2 + 0 = 4
Como la superficie S frontera del cuerpo H es una superficie cerrada, podemos aplicar el teorema de la divergencia para calcular el flujo pedido orientado en forma saliente:
\iint_S f \cdot ds = \iiint_H div(f) dxdydz = \iiint_H div(f) dxdydz = 4 \ vol(H)

El cuerpo H viene definido por
x^2 + y^2 + z^2 \leq 13
y \geq 2

cuyas superficies asociadas (reemplazando las inecuaciones por ecuaciones) son
x^2 + y^2 + z^2 = 13 \ \ \ (1)
y = 2 \ \ \ (2)

es decir una esfera y un plano. De (2) en (1)
x^2 + 4 + z^2 = 13
x^2 + z^2 = 9
es decir que su intersección es una circunferencia de radio 3 sobre el plano y=2.

luego el flujo pedido es
4 \int_0^{2 \pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_2^{\sqrt{13 - \rho^2} } dy = \boxed{\frac{8}{3} \pi (13 \sqrt{13} - 35) }

según wolframalpha.

En el siguiente dibujito vemos la esfera y el plano en violeta y amarillo semitrasparentes. Y la proyección del sólido en el plano xz en azul.


P2) f(x,y,z) = (x^2, xy, xz)

¿Será conservativo? Analizo su matriz jacobiana

Df = \begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ y & x & 0 \\ z & 0 & x \end{pmatrix}
es continua pero no es simétrica, así que f no es conservativo.

Parametrizo la curva
g(t) = (t^2, t, 2-t)
para que esté en el primer octante las tres coordenadas tienen que ser positivas, por lo que se ve fácilmente que 0 \leq t \leq 2. Los puntos inicial y final son A = g(0) = (0,0,2) y B = g(2) = (4,2,0) respectivamente. Como la curva no es cerrada y el campo no es conservativo, aplico directamente la definición para obtener la circulación de f sobre C orientada desde A hacia B:

\int_C f \cdot dc = \int_0^2 (t^4, t^3, 2t^2 - t^3) \cdot (2t, 1, -1) dt
\int_0^2 2t^5 + t^3 - 2t^2 + t^3 dt
\int_0^2 2t^5 + 2t^3 - 2t^2 dt = \boxed{24}

En el siguiente dibujito vemos la curva en el primer octante como intersección de las dos superficies.


P3) Parametrizo la superficie S con
g(x,z) = (x, x^2, z)

como debe cumplirse
y+z \leq 4
z \geq 0

al dominio de g lo llamo D y lo defino como
x^2 + z \leq 4
z \geq 0

que escrito como región elemental sería
0 \leq z \leq 4 - x^2
-2 \leq x \leq 2
donde los límites de x salen de ver en los límites de z que 0 \leq 4 - x^2

g'_x = (1, 2x, 0)
g'_z = (0, 0, 1)
g'_x \times g'_z = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| = (2x, -1, 0)

donde veo que la segunda coordenada (-1) es negativa, por lo que estaría orientando hacia los y \geq 0.

\iint_S f \cdot ds = \iint_D f(g(x,z)) \cdot (g'_x \times g'_z) dxdz
= \int_{-2}^2 dx \int_0^{4-x^2} (2x, x^2, z-x) \cdot (2x, -1, 0)dz
= \int_{-2}^2 dx \int_0^{4-x^2} 4x^2 - x^2 dz
= \int_{-2}^2 dx \int_0^{4-x^2} 3x^2 dz = \boxed{ \frac{128}{5}} según wolframalpha

En el siguiente dibujo vemos la superficie en color rojo, con el vector normal indicando la orientación en color negro, y la proyección de la superficie sobre el plano xz en color verde.


P4) Nos dan el campo vectorial
f(x,y) = ( g(y-x) - y^2, xy - g(y-x))

Como la curva frontera C frontera de la región D definida por
y \geq |x| \ \ \ (1)
x^2 + y^2 \leq 2y \ \ \ (2)
es una curva cerrada, puede resultar conveniente aplicar el teorema de Green, así que calculo

Q'_x - P'_y = y + g'(y-x) - ( g'(y-x) - 2y ) = 3y

La circulación pedida orientada en sentido antihorario, por el teorema de Green es igual a

\int_C f \cdot dc = \iint_D Q'_x - P'_y dxdy

Completando cuadrados en (2)
x^2 + (y-1)^2 \leq 1
vemos que es una circunferencia de radio 1 con centro (0,1)

Paso a polares
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)

La inecuación (2) se traduce en
\rho^2 \leq 2 \rho \sin(\phi)
para \rho \neq 0 equivale a
\rho \leq 2 \sin(\phi)
y de la inecuación (1) vemos geométricamente que
\frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \frac{3 \pi}{4}

Luego la integral nos queda
3 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin(\phi) d\phi \int_0^{2 \sin(\phi)} \rho^2 d\rho = \boxed{ \frac{3 \pi + 8}{2} }

En el siguiente dibujito vemos la curva cerrada C orientada en forma antihoraria que es la frontera de la región D

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